ARIMA 模型

ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) 是时序建模的"经典 + 主力"模型,1970 年提出至今仍在用。理解 ARIMA = 理解时序建模的核心思路。

ARIMA 拆解

ARIMA 有 3 个参数 (p, d, q):

• AR (AutoRegressive) p: 当前值 = 过去 p 个值的线性组合
• I (Integrated) d: 做了 d 次差分让它平稳
• MA (Moving Average) q: 当前值 = 过去 q 个残差的线性组合

公式:

y(t) = c + phi(1) * y(t-1) + ... + phi(p) * y(t-p)
     + theta(1) * e(t-1) + ... + theta(q) * e(t-q) + e(t)

直观:

• AR(p): 用历史值预测 (明天销量 ≈ 前 7 天销量的加权平均)
• MA(q): 用预测误差修正 (今天卖得差是因为前天预测偏高)
• I(d): 差分次数 (一般 d=0 或 1)

4 步建模流程

import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
import pmdarima as pm

auto_arima 会遍历 (p, d, q) 组合,选 AIC 最小的 (AIC 衡量"拟合好 + 参数少"的平衡)。

残差诊断:看模型是否充分

训完模型后, 必须看残差诊断。4 个子图:

• 标准化残差时序 (应该像白噪声)
• 直方图 (应该接近正态)
• Q-Q 图 (应该沿红线)
• ACF (应该无自相关)

替代方案:Prophet

ARIMA 对非线性趋势 + 多重季节性 + 缺失值 处理不好。下一章 Prophet 是 Facebook 2017 年开源的工具,工业界更常用。

小结

• ARIMA(p, d, q) = 自回归 + 差分 + 移动平均
• pmdarima.auto_arima 自动选参, 比手挑省事
• SARIMA 加季节项, 参数 (p, d, q) × (P, D, Q, s)
• 残差诊断 4 步: 时序图、直方图、Q-Q、ACF
• ARIMA 适合"平稳 + 单一季节"的数据,复杂场景用 Prophet 或 LSTM

练习思考

1. 用 auto_arima 对气温数据建模, 输出的最佳 (p, d, q) 是多少?为什么?
2. 对比 ARIMA 和 SARIMA 在有强季节性数据上的预测 MAPE, 差距有多大?
3. 在 ARIMA 残差诊断中, 残差还有强自相关说明什么?应该怎么调?