该章节介绍了时间序列的基本概念，即按时间顺序排列且相邻点之间存在依赖关系的数据。核心概念包括平稳性（统计性质不随时间变化）、自相关与偏自相关（衡量不同时间点间的相关性）以及时间序列分解（趋势、季节性与残差）。读者学完后能够识别时间序列的平稳性，使用ACF和PACF图分析数据相关性结构，并对序列进行趋势与季节性分解，为后续建模打下基础。

时间序列基础

时间序列 (time series) 是一组按时间顺序排列的数据点,比如每日股票价格、每月销售额、每小时服务器请求数。它和"普通"表格数据的关键区别:相邻点之间不独立,今天的值往往和昨天相关。

这一章我们建立时序分析的核心词汇:平稳性、自相关、ACF/PACF、季节性。

什么是时间序列

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟一个销售额时序: 趋势 + 季节性 + 噪声
np.random.seed(42)
dates = pd.date_range("2022-01-01", periods=365*2, freq="D")
trend = np.linspace(100, 200, len(dates))   # 上升趋势
seasonal = 20 * np.sin(np.arange(len(dates)) * 2 * np.pi / 365)  # 年周期
noise = np.random.normal(0, 5, len(dates))
sales = trend + seasonal + noise

df = pd.DataFrame({"date": dates, "sales": sales})
df.set_index("date", inplace=True)

df["sales"].plot(figsize=(12, 4), title="某商品 2 年每日销量")
plt.show()

你会看到:

整体上升 (趋势)
周期波动 (季节性, 365 天周期)
小幅抖动 (噪声)

4 大分析目标

描述 (Description): 画图、看统计量、找趋势和季节性
预测 (Forecasting): 未来 7 天 / 30 天的销量
异常检测 (Anomaly Detection): 找出"双11"那种反常高峰
控制 (Control): 判断过程是否"在控"

平稳性 (Stationarity):最重要的概念

平稳序列的统计性质 (均值、方差、自相关) 不随时间变化。

直观理解:平稳序列没有明显趋势,没有周期,均值和方差稳定。

# 上面的销量数据: 非平稳 (有趋势 + 季节性)
# 对数 + 差分后: 接近平稳
df["log_sales"] = np.log(df["sales"])
df["diff"] = df["log_sales"].diff()  # 一阶差分
df["diff"].plot(figsize=(12, 4), title="对数差分后")
plt.show()

为什么要平稳?大多数时序模型 (ARIMA 等) 要求数据平稳,否则预测会"漂"。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss

# ADF 检验
result = adfuller(df["sales"].dropna())
print(f"ADF p-value: {result[1]:.4f}")
# 0.5+ → 非平稳

# 对数 + 一阶差分后
result = adfuller(df["diff"].dropna())
print(f"差分后 ADF p-value: {result[1]:.4f}")
# 0.001 → 平稳

自相关 (ACF) 和偏自相关 (PACF)

自相关衡量"相隔 k 期的两个点有多相关"。

ACF: 包含所有中间影响的相关系数
PACF: 排除中间影响,只看"相隔 k 期的纯相关"

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 4))
plot_acf(df["diff"].dropna(), lags=30, ax=ax1)
plot_pacf(df["diff"].dropna(), lags=30, ax=ax2)
plt.show()

看图判断:

ACF 在 lag=7, 14, 21... 处明显 → 周季节性
ACF 缓慢下降 → 序列有趋势
PACF 在 lag=1 后截尾 → 适合 AR(1) 模型
ACF 在 lag=1 后截尾 → 适合 MA(1) 模型

分解:Trend + Seasonal + Residual

把时间序列拆成 3 部分有助于理解和建模:

from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose

decomp = seasonal_decompose(df["sales"], model="additive", period=365)
decomp.plot()
plt.show()

Trend: 长期趋势
Seasonal: 季节性波动
Residual: 剩余噪声 (应该接近白噪声)

模型: y(t) = Trend(t) + Seasonal(t) + Residual(t) (加法) 或: y(t) = Trend(t) × Seasonal(t) × Residual(t) (乘法,适合波动幅度随趋势增大的)

评估:训练/测试切分

时序数据不能随机打乱! 必须是连续的时间段:

train = df["sales"][:"2023-06-30"]
test  = df["sales"]["2023-07-01":]

# 或者按比例
train_size = int(len(df) * 0.8)
train = df["sales"][:train_size]
test  = df["sales"][train_size:]

评估指标:

MAE (平均绝对误差): 直观, 同量纲
RMSE (均方根误差): 惩罚大误差
MAPE (平均绝对百分比误差): 相对误差,跨量纲可比

from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error
import numpy as np

def eval_metrics(y_true, y_pred):
    mae = mean_absolute_error(y_true, y_pred)
    rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_true, y_pred))
    mape = np.mean(np.abs((y_true - y_pred) / y_true)) * 100
    return {"MAE": mae, "RMSE": rmse, "MAPE%": mape}